Question

已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1
（1）求角A；         
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanB．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及

m

•

n

=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，关系式左边提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，求出这个正弦函数的函数值，由A为三角形的内角，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）将已知等式分子中的1利用同角三角函数间的基本关系化为sin²B+cos²B，整理后根据cosB不为0，在等式左右两边同时除以cos²B，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到关于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值．

解答：解：（1）∵

m

（-1，

3

），

n

（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，
∴

3

sinA-cosA=2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=2sin（A-

π

6

）=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，
∴A=

π

3

；
（2）由题知

1+2sinBcosB

cos2B-sin2B

=-3，且sin²B+cos²B=1，
整理得：sin²B-sinBcosB-2cos²B=0，
∴cosB≠0，即cos²B≠0，
∴等式左右两边除以cos²B得：tan²B-tanB-2=0，
∴tanB=2或tanB=-1，
而tanB=-1使cos²B-sin²B=0，舍去，
∴tanB=2．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，本题第二问注意舍去使原式分母为0的tanB的值．