Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数有唯一零点，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)时,求出导函数,求出,将代入到中得到曲线在点处的切线的斜率,求出,然后利用点斜式求出曲线在点处的切线方程.

（Ⅱ）先利用导数证明函数在R上有唯一零点,且函数在上递,在上递增,所以函数 在 处取得最小值,再根据函数有唯一零点可得,然后根据以及联立消去,得到,然后构造函数,通过导数的方法可得有唯一零点,且,最后将代入到可以解得的值.

（Ⅰ）当时，.

.

.

又，

曲线在点处的切线方程为，即.

（Ⅱ）.

令，则.

，函数在仅有一个零点.

存在，使得.

即存在满足时，.

当，即时，.

在上单调递减；

当，即时，.

在上单调递增.

又当时，，，；

当时，，.

当时，，当时，.

由题意，函数有唯一零点时，必有.①

又，②

由①②消去，得.

令.，单调递增.

又，

方程有唯一解.

将代入，解得.

当函数有唯一零点时，的值为.