Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+9n+2（n∈N）．
（Ⅰ）判断数列{a_n}是否为等差数列；
（Ⅱ）设R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求R_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=-n²+9n+2（n∈N），可求得a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

，从而可判断数列{a_n}是否为等差数列；
（Ⅱ）由a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

可知：当n≤5时，|a_n|=a_n，当n＞5时，|a_n|=-a_n，从而可通过对n分类讨论，来求和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=-n²+9n+2（n∈N），
∴当n=1时，a₁=S₁=10，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+9n+2）-[-（n-1）²+9（n-1）+2]=10-2n，
∴a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

．
∴数列{a_n}不是等差数列．
（Ⅱ） 由a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

可知：当n≤5时，|a_n|=a_n，当n＞5时，|a_n|=-a_n．
∴当n≤5时，R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=-n²+9n+2，
当n＞5时，R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₅）-（a₆+a₇+…+a_n）
=-S_n+2S₅
=n²-9n-2+2（-25+45+2）
=n²-9n+42．
即：R_n=

-n2+9n+2，n≤5 n2-9n+42，n＞5

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与等差数列的求和，考查分类讨论思想，属于中档题．