Question

已知函数f(x)=

2x+a

2x-1

．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）在（1）的条件下，f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），即 

1+a•2x

1-2x

=

2x+a

1-2x

，解得 a=1．
（2）由f（x）=

2x+1

2x-1

，可得 2^x=

f(x)+1

f(x)-1

＞0，解得 f（x）＞1，或f（x）＜-1，由此求得f（x）的值域．

解答：解：（1）若f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），
即

2-x+a

2-x-1

=-

2x+a

2x-1

，即 

1+a•2x

1-2x

=

2x+a

1-2x

，∴a=1．
（2）在（1）的条件下，f（x）=

2x+1

2x-1

，可得 2^x=

f(x)+1

f(x)-1

＞0，
解得 f（x）＞1，或f（x）＜-1，
故f（x）的值域为（1，+∞）∪（-∞，1）．

点评：本题主要考查指数型函数的性质以及应用，以及根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．