Question

已知函数f(x)=mx³-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为.

(1)求m、n的值;

(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;

(3)求证:|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t＞0).

Answer 1

解:(1)f′(x)=3mx²-1,依题意,得tan=f′(1),即1=3m-1,m=.

∴f(x)=x³-x.把N(1,n)代入,得n=f(1)=-.∴m=,n=-.                

(2)令f′(x)=2x²-1=0,得x=±,

当-1＜x＜-时,f′(x)=2x²-1＞0;

当-＜x＜时,f′(x)=2x²-1＜0;

当＜x＜3时,f′(x)=2x²-1＞0.

又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15,

因此,当x∈［-1,3］时,-≤f(x)≤15.                                   

要使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立,则k≥15+1 991=2 006.    

∴存在最小的正整数k=2 006,使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立.

(3)证法一:|f(sinx)+f(cosx)|

=|(sin³x-sinx)+(cos³x-cosx)|

=|(sin³x+cos³x)-(sinx+cosx)|

=|(sinx+cosx)［(sin²x-sinxcosx+cos²x)-1］|

=|sinx+cosx|·|-sinxcosx-|

=|sinx+cosx|³

=|2sin(x+)|³≤.                                              

又∵t＞0,∴t+≥2,t²+≥1.

∴2f(t+)=2［(t+)³-(t+)］=2(t+)［(t²+1+)-1］

=2(t+)［(t²+)-］≥2(-)=.

综上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t＞0).                       

证法二:由(2)知函数f(x)在［-1,-］上是增函数;在［-,］上是减函数;在［,1］上是增函数.

又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(1)=-,

∴当x∈［-1,1］时,-≤f(x)≤,即|f(x)|≤.

∵sinx,cosx∈［-1,1］,

∴|f(sinx)|≤,|f(cosx)|≤.

∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+=.               

又∵t＞0,∴t+≥＞1,且函数f(x)在［1,+∞)上是增函数.

∴2f(t+)≥2f()=2［()³-］=

.

综上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t＞0).