Question

已知函数f(x)=m-

1

1+ax

(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函数．
（1）求m的值．
（2）当a=2时，解不等式0＜f(x2-x-2)＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）由于函数是定义在R上的奇函数，故可得出f(0)=m-

1

1+a0

=0，由此方程解出参数m的值．
（2）此不等式是一个复合型的不等式，直接求解较难可先解出外层函数对应的不等式的解集，再求内层函数对应不等式的解集即可得出所求不等式的解集．

解答：解：（1）由题意，函数f(x)=m-

1

1+ax

(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函数．
∴f(0)=m-

1

1+a0

=0，解得m=

1

2

（2）由于a=2，结合（1）可得f(x)=

1

2

-

1

1+2x

=

2x-1

2(1+2x)

令0＜

2x-1

2(1+2x)

＜

1

6

，整理得1＜2^x＜2，解得0＜x＜1
再令0＜x²-x-2＜1，解得x∈(

1- 13

2

，-1)∪(2，

1+ 13

2

)
故不等式0＜f(x2-x-2)＜

1

6

的解集是(

1- 13

2

，-1)∪(2，

1+ 13

2

)

点评：本题考查指数函数的性质及函数奇偶性，解题的关键是熟练掌握理解函数的性质，建立方程解出相应参数，利用函数的单调性解不等式是函数单调性的一个重要运用，本题中所给的不等式是一个复合型的不等式，直接求解较困难，故本题采取了分步求解的策略，解题中注意借鉴．