Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2+c2-b2=

1

2

ac．
（Ⅰ）求sin2

A+C

2

+cos2B的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理和题设条件求得cosB的值，进而利用诱导公式和二倍角公式对sin2

A+C

2

+cos2B化简整理，最后把cosB的值代入即可求得答案．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中cosB的值，可求得sinB的值，进而通过a2+c2-b2=

1

2

ac．利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式，求得三角形面积最大值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理：cosB=

1

4

sin2

A+C

2

+cos2B=sin2(

π

2

-

B

2

)+2cos2B-1
=cos2

B

2

+2cos2B-1
=

1+cosB

2

+2cos2B-1
=-

1

4

（Ⅱ）由cosB=

1

4

，得sinB=

15

4

．
∵b=2，a2+c2-b2=

1

2

ac
∴a2+c2=

1

2

ac+b2=

1

2

ac+4≥2ac，从而ac≤

8

3

故S△ABC=

1

2

acsinB≤

15

3

（当且仅当a=c时取等号）

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的化简求值．考查了学生分析推理和基本运算的能力．