Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC；
（2）求多面体DBC-A₁B₁C₁的体积；
（3）求二面角C-DA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证BB₁⊥平面ABC，必须证明BB₁⊥平面ABC内的两条相交直线，AB、CD即可，可用几何法证明．
（2）多面体DBC-A₁B₁C₁是不规则几何体，其体积不易直接求．将其转化为三棱柱ABC-A₁B₁C₁与三棱锥A₁-ADC体积之差．
（3）建立空间直角坐标系，求出CDA₁ 与DA₁C₁的法向量

n1

，

n2

，利用二面角C-DA₁-C₁的平面角与

n1，

n2

的夹角相等或互补的关系去解决．

解答：解：（1）证明：
∵AC=PC，D为AB的中点．∴CD⊥AB
又∵CD⊥DA，∴CD⊥平面ABB₁A₁∴CD⊥BB₁
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D
∴BB₁⊥面ABC．
（2）V_{多面体DBC-A1B1C1=}V_{棱柱ABC-A1B1C1}-V棱锥_A1-ABC
=S_△ABC•AA₁-

1

3

S_△ADC•AA1
=S_△ABC•AA₁-

1

3

×

1

2

S_△ABC•AA1
=

5

6

S_△ABC•AA_1
=

10

3

（3）以 C为原点，分别以

CB

 ，   

CC1

，

CA

所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C₁（0，2，0），A₁（0，2，2）∴D（1，0，1）
设

n1

=(x1，y1，z1)是面CDA₁的一个法向量，
则由

n1 • CD =0 n1 • CA1 =0

得

x1+z1=0 2y1+2z1=0

可取

n1

=（1，1，-1）
同理设

n2

=(x2，y2，z2)是面DA₁C₁的一个法向量，
且

C1D

=（1，-2，1）

C1A1

=（0，0，2）
则由

n2 • C1 D =0 n2 • C1A1  =0

 
得

x2- 2y2+z2=0 2z2=0

取

n2=

(2，1，0 )
∴cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 |×| n2 |

|=

3

3 × 5

=

15

5

二面角C-DA₁-C₁为锐二面角，所以其平面角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查直线和平面位置关系及其判定，空间几何体体积的计算，二面角求解，考查转化的思想方法（间接法求体积，线线垂直转化为向量垂直）空间想象能力，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证变成了代数运算，使人们解决问题更加方便．