Question

已知函数，且f(1)＝3，

(1)试求a的值；

(2)用定义证明函数f(x)在[，＋∞)上单调递增；

(3)设关于x的方程f(x)＝x＋b的两根为x₁，x₂，试问是否存在实数t，使得不等式对任意的b∈[2，]及恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(1)＝3，∴a＝1，∴　3分 　　(2)∵a＝1，∴，设≤x1＜x2， 　　∴f(x2)－f(x1)＝2x2＋－(2x1＋)＝2(x2－x1)＋＝(x2－x1)(2－)， 　　∵x2＞x1≥，∴x1x2≥x≥，∴0＜＜2，∴2－＞0又x2－x1＞0， 　　∴f(x2)－f(x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在，＋∞)上单调递增．　8分 　　(3)∵f(x)＝x＋b，∴x2－bx＋1＝0，∴|x1－x2|＝ 　　又2≤b≤，∴0≤|x1－x2|≤3，故只须当，使得恒成立即在恒成立，也即在恒成立， 　　∴令，由第(2)问可知在上单调递增，同理可得在上单调递减． 　　∴∴ 　　故的取值集合是　14分