题目内容

设椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且 $数学公式$ ．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

解：（1）由题意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0）
∵ $\text{[math]}$
∴F₂为AF₁的中点
∴a²=3，b²=2
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ …（5分）
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，此时|MN|=2a=2 $\text{[math]}$ ，四边形DMEN的面积 $\text{[math]}$ ．
同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积 $\text{[math]}$ ．
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
所以，|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ ，所以|DE|= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$ ，
同理|MN|= $\text{[math]}$ …（9分）
所以四边形的面积 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令u= $\text{[math]}$ ，则S=4- $\text{[math]}$
因为u= $\text{[math]}$ ≥2，当k=±1时，u=2，S= $\text{[math]}$ ，且S是以u为自变量的增函数，所以 $\text{[math]}$ ．
综上可知， $\text{[math]}$ ．
故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为 $\text{[math]}$ ．…（13分）
分析：（1）由题意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0），利用 $\text{[math]}$ ，可得F₂为AF₁的中点，从而可得椭圆方程；
（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积 $\text{[math]}$ ；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键．