Question

在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN=90°，tan∠PMN=.求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程.

Answer 1

解：∵△MPN的周长为48，且tan∠PMN=,设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k，由3k+4k+5k=48,得k=4.

∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20,以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)

由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a²=4.

由|MN|=20，得c=10,∴b²=100-4=96.

∴所求双曲线方程为=1.