Question

关于x的不等式

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整数解的集合为{-2}，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：由已知不等式

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

我们易给出x²-x-2＞0的解集为{x|x＜-1或x＞2}，而方程2x²+（2k+5）x+5k=0的两根为-k和-

5

2

．我们分类讨论-k和-

5

2

的关系，又由不等式

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整数解的集合为{-2}，我们不难求出实数k的取值范围．

解答：解：由x²-x-2＞0可得x＜-1或x＞2．
∵

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整数解为x=-2，
又∵方程2x²+（2k+5）x+5k=0的两根为-k和-

5

2

．
①若-k＜-

5

2

，则不等式组的整数解集合就不可能为{-2}；
②若-

5

2

＜-k，则应有-2＜-k≤3．
∴-3≤k＜2．
综上，所求k的取值范围为-3≤k＜2．

点评：解决参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用，还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．