Question

已知函数f（x）=ax³-cx，x∈[-1，1]．
（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；
（II）若对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求证：|a|≤4．

Answer 1

分析：（I）把a=4，c=3，代入求得f（x）的解析式，由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出函数的最值，从而求证；
（II）对f（x）求导，解出极值点为，代入求出函数的最值，再根据|f（x）|≤1，利用绝对值不等式的性质进行求解，从而证得|a|≤4．

解答：证明：（I）由a=4，c=3，得f（x）=4x3-3x，
于是f′（x）=12x²-3，
令f′（x）=0，可得x=±

1

2

，
∴当-1＜x＜-

1

2

或

1

2

＜x＜1，时f′（x）＞0，
当-

1

2

＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的增区间为（-1，-

1

2

），（

1

2

，1），减区间（-

1

2

，

1

2

），
又f（-1）=-1，f（-

1

2

）=1，f（1）=1，f（

1

2

）=-1，
故对任意x∈[-1，1]，恒有-1≤f（x）≤1，
即对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1．（7分）
（II）证明：由f（x）=ax³-cx可得，
f（1）=a-c，f（

1

2

）=

a

8

-

c

2

，
因此f（1）-2f（

1

2

）=

3a

4

，
由|

3a

4

|=|f（1）-2f（

1

2

）|≤|f（1）|+2|f（

1

2

）|
又对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，
∴|

3a

4

|≤3，可得|a|≤4．（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．