Question

16．在直角坐标系xOy中，已知点O、A、B、C分别表示复数0，1+i，2+3i，3+2i，点P（x，y）在三边围成的区域（含边界）上．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，求|$\overrightarrow{OP}$|；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用坐标表示出$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OP}$=（2，2），即可求|$\overrightarrow{OP}$|；
（Ⅱ）利用$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），即可x，y表示m-n，利用线性规划知识求出m-n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（1-x，1-y）+（2-x，3-y）+（3-x，2-y）=（0，0），
∴3x-6=0，3y-6=0，∴x=2，y=2，
∴$\overrightarrow{OP}$=（2，2），
∴|$\overrightarrow{OP}$|=2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1），
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），
∴（x，y）=（m+2n，2m+n），
∴x=m+2n，y=2m+n，
∴m+n=y-x，
令y-x=t，由图可知，直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
∴m-n的最大值为1．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查线性规划知识，考查 学生分析解决问题的能力，属于中档题．