Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=xf（x）无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数模型设出函数的解析式，根据不等式的解集建立两个等量关系，然后根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，利用判别式等于零建立等量关系，解三元一次方程组即可；
（2）先将函数g（x）中的字母都有a表示，研究函数的导数g'（x），根据g（x）无极值，得到方程g'（x）=0无实根或有两个相等实根，建立关系式解之即可．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），所以a＜0
∴f（1）=a+b+c=-2①f（3）=9a+3b+c=-6②
又∵f（x）+6a=ax²+bx+c+6a=0有两等根，∴△=b²-4a（c+6a）=0③
由①②③解得a=-

1

5

，或a=1（5分）
又∵f（x）＞-2x的解集为（1，3），
∴a＜0，故a=-

1

5

，b=-

6

5

，c=-

3

5

．∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

（7分）
（2）由①②得b=-2-4a，c=3a，∴g（x）=ax³+（-2-4a）x²+3ax，g'（x）=3ax²+2（-2-4a）x+3a（9分）
∵g（x）无极值，∴方程g'（x）=0无实根或有两个相等实根，则

a≠0 △=4(-2-4a)2-36a2≤0

，
解得-2≤a≤-

2

7

（12分）

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及利用导数研究函数的极值，属于基础题．