Question

已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-

3

cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：通过平方关系，以及二倍角公式，通过两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用正弦函数周期公式求出函数的周期．
（2）通过x的范围，求出2x-

π

3

的范围，利用正弦函数的值域求出函数的值域即可．

解答：解：已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）+1．
（1）函数的周期为：

2π

2

=π．
（2）因为x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

6

]，
2sin（2x-

π

3

）+1∈[1-

3

，2]．
所以函数的值域为：[1-

3

，2]．

点评：本题考查三角函数的基本关系式，二倍角公式两角和与差的三角函数，函数的基本性质，考查计算能力．