题目内容
若函数f（x）=（a-1）log2（3-ax）（a＞0且a≠1）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
分析：根据复合函数的单调性的性质，分别讨论a，建立条件关系即可求出a的取值范围．
解答：解：①若a＞1，则a-1＞0，y=g（x）=3-ax为减函数，
∴根据复合函数的性质可知，
此时f（x）=（a-1）log2（3-ax）（a＞0且a≠1）在区间（0，1]上是减函数，
∴满足g（1）＞0即可，即g（1）=3-a＞0，
解得1＜a＜3．
②若0＜a＜1，则a-1＜0，y=g（x）=3-ax为增函数，
∴根据复合函数的性质可知，
此时f（x）=（a-1）log2（3-ax）（a＞0且a≠1）在区间（0，1]上是减函数，
∴满足g（0）＞0即可，即g（0）=3-1=2＞0恒成立，
∴此时0＜a＜1．
综上：实数a的取值范围是1＜a＜3或0＜a＜1．即0＜a＜3且a≠1．
故选：B．
∴根据复合函数的性质可知，
此时f（x）=（a-1）log2（3-ax）（a＞0且a≠1）在区间（0，1]上是减函数，
∴满足g（1）＞0即可，即g（1）=3-a＞0，
解得1＜a＜3．
②若0＜a＜1，则a-1＜0，y=g（x）=3-ax为增函数，
∴根据复合函数的性质可知，
此时f（x）=（a-1）log2（3-ax）（a＞0且a≠1）在区间（0，1]上是减函数，
∴满足g（0）＞0即可，即g（0）=3-1=2＞0恒成立，
∴此时0＜a＜1．
综上：实数a的取值范围是1＜a＜3或0＜a＜1．即0＜a＜3且a≠1．
故选：B．
点评：本题主要考查复合函数的单调性的应用，考查学生的分析问题的能力．
练习册系列答案
相关题目