Question

如图，A为椭圆

x2

a2

+

y2

b1

=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁+λ₂的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁+λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设|AF₁|=m，则|AF₂|=3m根据题设及椭圆定义得方程组联立消去m求得a²=2c²，离心率可得．
（2）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），分别表示出

AF1

和

F 1

B，根据

AF1

=λ₁

F1B

求得x₁和y₁的表达式代入x₁²+2y₁²=2c²中再与x₀²+2y₀²=2c²相减求得2x₀=cλ₁-3c同理根据

AF2

=λ₂

F2C

求得2x₀=-cλ₂+3c两式相见即可求得λ₁+λ₂=6．说明λ₁+λ₂为定值．

解答：解：（Ⅰ）设|AF₁|=m，则|AF₂|=3m．
由题设及椭圆定义得

(3m)2-m2=4c2 3m+m=2a

，
消去m得a²=2c²，所以离心率

2

2

．
（Ⅱ）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则

AF1

=（-C-x₀，-y₀），

F 1

B=（x₁+C，y₁）
∵

AF1

=λ₁

F1B

，∴x₁=-

c+x0

λ1

-c，y₁=-

y0

λ1

又x₀²+2y₀²=2c²①，x₁²+2y₁²=2c²②，
将x₁，y₁代入②得：
（

c+x0

λ1

+c）²+2（

y0

λ1

）²=2c²即（c+x₀+cλ₁）²=2y²₀=2λ₁c²③；
③-①得：2x₀=cλ₁-3c；
同理：由

AF2

=λ₂

F2C

．得2x₀=-cλ₂+3c；
∴cλ₁-3c=-cλ₂+3c，
∴λ₁+λ₂=6．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及了椭圆的基本性质和利用向量的运算解决椭圆与直线的关系的问题，要求学生具有对知识的综合、整合的能力．