Question

数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2），求{C_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件得到{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出a_n，通过b_n=a_n+1，利用等比数列的定义证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求出C_n=n（3a_n+2），利用错位相减法求出3×2¹+3×2×2²+3×3×2³+…+3×n×2ⁿ的和，然后求出{C_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
所以2a_n-a_n+1+1=0，即2a_n+2=a_n+1+1，
所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
a_n=2ⁿ-1，
b_n=a_n+1=2ⁿ，

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2
所以{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2）=3n×2ⁿ-n，
{C_n}的前n项和．Sn=3× 21+3×2×22+3×3×23+…+3×n×2n-(1+2+3+…+n)，
令T=3×2¹+3×2×2²+3×3×2³+…+3×n×2ⁿ，…①，
所以2T=3×2²+3×2×2³+3×3×2⁴+…+3×n×2ⁿ⁺¹…②，
①-②得：-T=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹），
T=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+6，
所以Sn=3(n-1)•2n+1+6-

n(n+1)

2

．

点评：本题考查数列的递推关系式，通项公式的求法，前n项和的求法，错位相减法的应用，考查计算能力，转化思想的应用．