Question

n²(n≥4，且n∈N₊)个正数排成一个n列的数阵：

其中a_ik(1≤i≤n，1≤k≤n，且i，k∈N₊)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₃＝8，a₃₄＝20．

(1)求a₁₁和a_ik；

(2)设A_n＝a_1n＋a_2(n－1)＋a_3(n－2)＋…＋a_n1．

Answer 1

答案：
解析：

证明：当n为3的倍数时，(An＋n)能被21整除． 　　(1)解：设第一行公差为d，则aik＝[a11＋(k－1)d]×2i－1． 　　∵a23＝8，a34＝20． 　　∴解得a11＝2，d＝1． 　　∴a11＝2，aik＝(k＋1)×2i－1(1≤i≤n，1≤k≤n，且n≥4，i，k，n∈N+)． 　　(2)证明：∵An＝a1n＋a2(n－1)＋a3(n－2)＋…＋an1 　　＝(n＋1)＋n×2＋(n－1)×22＋…＋2×2n－1，① 　　∴2An＝(n＋1)×2＋n×22＋(n－1)×23＋…＋3×2n－1＋2×2n，② 　　②－①，得An＝2＋22＋23＋…＋2n－1＋2×2n－(n＋1) 　　＝2n－2＋2×2n－(n＋1) 　　＝3×(2n－1)－n． 　　∴An＋n＝3×(2n－1)． 　　下面用数学归纳法证明：当n为3的倍数时，(An＋n)能被21整除． 　　设n＝3m(m∈N+，且m≥2)，则 　　A3m＋3m＝3×(23m－1)． 　　(1)当m＝2时，A6＋6＝3×(26－1)＝21×9，能被21整除．∴当m＝2时，结论成立． 　　(2)假设当m＝k(k≥2)时，结论成立． 　　即A3k＋3k＝3×(23k－1)能被21整除． 　　当m＝k＋1时， 　　A3(k+1)＋3(k＋1)＝3(23(k+1)－1)＝3(23k×8－1) 　　＝3(23k＋7×23k－1) 　　＝3(23k－1)＋21×23k能被21整除． 　　∴当m＝k＋1时，结论成立． 　　由(1)(2)可知，当n为3的倍数时，An＋n，能被21整除．