Question

【题目】如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．

（1）证明：平面PDC；

（2）已知PDAD1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面；

（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：

在正方形中，，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，平面平面，

所以，

因为在四棱锥中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因为

所以平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，

设，则有，

因为QB=，所以有

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

所以直线与平面所成角的正弦值为.