Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）.

（1）求双曲线方程；?

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；

（3）求△F₁MF₂的面积.?

Answer 1

思路分析：本题主要考查了双曲线的标准方程和简单的几何性质（如离心率、渐近线等）.

解（1）∵e=,?

∴可设双曲线方程为x²-y²=λ.?

∵过（4,-）点，?

∴16-10=λ,即λ=6,?

?∴双曲线方程为x²-y²=6.?

（2）证法一：由（1）可知，双曲线中a=b=,?

∴c=2,∴F₁（-2,0）,F₂（2,0）,?

∴k=,k=,k·k=.?

∵点（3，m）在双曲线上，∴9-m²=6,m²=3,?

故k·k=-1.?

∴MF₁⊥MF₂.∴=0.

证法二：∵=（3+23,m）,=（3-23,m）,

∴=（3+23）×（3-23）+m²=-3+m².?

∵M点在双曲线上，?

∴9-m²=6,即m²-3=0,?

∴=0,即MF₁⊥MF₂.?

（3）解：△F₁MF₂的底|F₁F₂|=43，△F₁MF₂的高h=|m|=3,?

∴S=6.

温馨提示

本例条件较少，如不能从离心率为2中看出它是等轴双曲线的隐含条件，则难以入手，或使运算变得复杂.