Question

△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差数列，cosC=-

1

4

．
（1）求

sinB

sinA

的值；
（2）若边c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知及正弦定理可得，2b=a+c，然后结合余弦定理，cosC=-

1

4

=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-(2b-a)2

2ab

可求a，b的关系，由正弦定理可得，

sinB

sinA

=

b

a

可求
（2）当c=4时，由91）中的a，b关系及已知a，b的关系可求a，b，然后利用sinC=

1-cos2C

求出sinC，代入三角形的面积公式S_△ABC=

1

2

absinC可求

解答：解：（1）由题意可得，2sinB=sinA+sinC
由正弦定理可得，2b=a+c
∴c=2b-a
∵cosC=-

1

4

．
由余弦定理可得，cosC=-

1

4

=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-(2b-a)2

2ab

整理可得，2b=3a
∴

sinB

sinA

=

b

a

=

3

2

（2）当c=4时，有

b a = 3 2 2b=a+4

，解可得a=1，b=

3

2

∵cosC=-

1

4

∴sinC=

1-cos2C

=

15

4

∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×1×

3

2

×

15

4

=

3 15

16

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式的简单应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．