Question

已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax²．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）求证：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

n-1

2(n+1)

（n≥2，n∈N₊）；
（3）当a=0时，求证：f（x）≤

2

ex

-

1

ex

．

Answer 1

分析：（1）先求导得f^′（x），通过对a分类讨论即可得出；
（2）利用（1）的结论，取a=

1

2

时，当x＞1时，f（x）单调递增，f（x）＞f（1），从而得出x²＞lnx＞0，取倒数得

1

lnx

＞

1

x2

，令x=k，再利用放缩和裂项求和即可得出；
（3）要证-lnx≤

2

ex

-

1

ex

?xlnx≥

x

ex

-

2

e

?（xlnx）_min≥(

x

ex

-

2

e

)max，利用导数分别求出其极值即最值即可证明．

解答：解：（1）f（x）=（a-1）lnx+ax²，定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=

a-1

x

+2ax=

2ax2+a-1

x

．
当a≥1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜1时，令f'（x）=0，解得x=

1-a 2a

．
则当x∈(0，

1-a 2a

)时，f'（x）＜0；x∈(

1-a 2a

，+∞)时，f'（x）＞0．
故f（x）在(0，

1-a 2a

)单调递减，在(

1-a 2a

，+∞)单调递增．
（2）当a=

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2，
由（1）知，x＞

1-a 2a

=

2

2

时，y=f（x）递增，
所以x＞1时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2＞f(1)=

1

2

⇒lnx＜x2-1＜x2
∵x＞1，
∴x²＞lnx＞0，
∴

1

lnx

＞

1

x2

，令x=k，则

1

lnk

＞

1

k2

＞

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

(k≥2)，

∴ 1 ln2 + 1 ln3 + 1 ln4 +…+ 1 lnn ＞( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 n - 1 n+1 ) = 1 2 - 1 n+1 = n-1 2(n+1) (n≥2，n∈N+)

（3）就是要证lnx≥

1

ex

-

2

ex

，即需证xlnx≥

x

ex

-

2

e

．
令g（x）=xlnx，则由g'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，
当x＞

1

e

时g（x）递增，当0＜x＜

1

e

时g（x）递减，
所以g（x）的最小值为g(

1

e

)=-

1

e

．
设?(x)=

x

ex

-

2

e

，
当Φ ′(x)=

1-x

ex

=0时，x=1．
当x＞1时g（x）递减；当0＜x＜1时g（x）递增．
所以?（x）的最大值为?(1)=-

1

e

，
因为g（x）的最小值不小于?（x）的最大值，
即xlnx≥

x

ex

-

2

e

，所以xlnx≥

x

ex

-

2

e

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值、分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．