Question

已知等比数列{a_n}的首项为

4

3

，公比为-

1

3

，其前n项和为S_n，若A≤Sn-

1

Sn

≤B对任意n∈N^*恒成立，则B-A的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先利用等比数列的求和公式求出S_n，求出S_n的范围，确定y=S_n-

1

Sn

，可知函数单调递增，求出最小值、最大值，即可求出B-A的最小值．

解答：解：∵等比数列{a_n}的首项为

4

3

，公比为-

1

3

，
∴S_n=

4 3 [1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=1-(-

1

3

)n
令t=(-

1

3

)n，则-

1

3

≤t≤

1

9

，S_n=1-t，∴

8

9

≤Sn≤

4

3

由y=S_n-

1

Sn

，可知函数单调递增，∴S_n-

1

Sn

的最小值为-

17

72

，最大值为

7

12

，
∵A≤Sn-

1

Sn

≤B对任意n∈N^*恒成立，则B-A的最小值为

7

12

-(-

17

72

)=

59

72

．
故答案为：

59

72

．

点评：本题考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．