Question

已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x．
（1）求实数a的值；
（2）若m^a=1，求g（m）的值；
（3）求g（x）在[-2，0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据指数对数的运算法则，结合f（x）的表达式可算出a=log₃2；
（2）由m^a=1得2^m=3，根据g（x）的表达式得到g（m）=3^am-4^m=（3^a）^m-（2^m）²，再结合（1）中的结论可得g（m）=3-3²=-6；
（3）根据题意得g（x）=2^x-4^x．设2^x=t，然后由-2≤x≤0得

1

4

≤t≤1，结合二次函数的图象与性质，即可求出g（x）在[-2，0]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，
∴f（a+2）=3^a+2=18，即3^a×3²=18，可得3^a=2，
∴a=log₃2…（4分）；
（2）∵m^a=1，∴m=log₂3，可得2^m=3，…（6分）
∵g（x）=3^ax-4^x，
∴g（m）=3^am-4^m=（3^a）^m-（2^m）²
=2^m-（2^m）²=3-3²=-6；…（8分）
（3）由（1）3^a=2，可得y=g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，
令2^x=t，（-2≤x≤0），
∵

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4

≤t≤1，…（9分）
∴y=t-t2=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
当t=

1

2

时，ymax=

1

4

，当t=1时，y_min=0，…（11分）
∴g（x）的值域为[0，

1

4

]…（12分）

点评：本题给出含有指数式的二次函数类型，求函数在闭区间上的值域．着重考查了指数对数的运算法则、指数函数的单调性和二次函数在闭区间上的值域求法等知识，属于中档题．