Question

已知定义在R上的奇函数f（x）的图象经过点（-4，0），且在（0，+∞）上单调递减，则不等式（x²-x-6）•f（1-x）≥0的解集为（　　）

A．（-3，-2）∪（1，3）∪（5，+∞）

B．[-3，-2）∪（1，3]∪[5，+∞）

C．[-3，-2]∪[1，3]∪[5，+∞）

D．[-3，-2）∪（1，3]

Answer 1

分析：根据题意作出作出函数图象的示意图，如图所示，再将不等式（x²-x-6）•f（1-x）≥0分解成两个不等式组，分别根据图象给出相应的解集，最后再取两部分的并集，可得本题答案．

解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）的图象经过点（-4，0），
且在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）的图象关于原点对称，f（0）=0且经过点（4，0），
并且在（-∞，0）上单调递减，
因此作出函数图象的示意图，如右图所示
∴（x²-x-6）•f（1-x）≥0可化为

x2-x-6≥0 f(1-x)≥0

或

x2-x-6≤0 f(1-x)≤0

即

x≤-2或x≥3 1-x≤-4或0≤1-x≤4

或

-2≤x≤3 1-x≥4或-4≤1-x≤0

解以上不等式组，可得x∈[-3，-2）∪（1，3]∪[5，+∞）
故选：B

点评：本题给出函数的奇偶性与单调性，求关于x的不等式的解集，着重考查了函数的单调性与奇偶性、用函数图象理解函数性质和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．