Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁且垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两点，|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，△ABF₂为正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记椭圆C的左、右顶点分别为D、E，过点D作直线l依次交椭圆C、直线x=$\sqrt{3}$于M、N两点，若点M位于第一象限，求$\frac{|ME|}{|NE|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把x=-c代入椭圆C的方程可得：$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$，可得|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，于是|AF₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由△ABF₂为正三角形，可得|AF₂|=2|AF₁|．利用2a=|AF₂|+|AF₁|，解得a．即可得出b²．
（2）设直线l的方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．与椭圆方程联立解得M，E（ $\sqrt{3}$，0），利用两点之间的距离公式可得|ME|，|NE|．进而得到可得$\frac{|ME|}{|NE|}$，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）把x=-c代入椭圆C的方程可得：$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$，∴|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∴|AF₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∵△ABF₂为正三角形，∴|AF₂|=2|AF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴2a=|AF₂|+|AF₁|=2$\sqrt{3}$，解得a=$\sqrt{3}$．∴b²=2，∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）解：设直线l的方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化为（2+3k²）x²+6$\sqrt{3}$k²x+9k²-6=0．
解得x_M=$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
∴y_M=$\frac{4\sqrt{3}k}{2+3{k}^{2}}$．
∴M$（\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}，\frac{4\sqrt{3}k}{2+3{k}^{2}}）$，
E（ $\sqrt{3}$，0），
∴|ME|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}-\sqrt{3}）^{2}+（\frac{4\sqrt{3}k}{2+3{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2k\sqrt{27{k}^{2}+12}}{2+3{k}^{2}}$．
又N（ $\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$k），∴|NE|=2 $\sqrt{3}$k．
∴$\frac{|ME|}{|NE|}$=$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+4}}{2+3{k}^{2}}$=f（k），
令2+3k²=t∈（2，4），$\frac{1}{t}$∈$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$．
f（k）=g（t）=$\frac{\sqrt{3t-2}}{t}$=$\sqrt{-2（\frac{1}{t}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{9}{8}}$∈$[\frac{\sqrt{10}}{4}，1）$．
∴$\frac{|ME|}{|NE|}$的取值范围是$[\frac{\sqrt{10}}{4}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．