Question

【题目】已知函数（， ），曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）证明： ；

（Ⅲ）已知满足的常数为.令函数（其中是自然对数的底数， ），若是的极值点，且恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）详见解析；（3）

【解析】试题分析：

(1)由导函数与切线方程的关系可得， .

(2)利用题意构造新函数 ，结合新函数的性质即可证得 ；

(3)由题意，

当时， 无极值，不符合题意；

当时， 是函数的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，可得 .

由题意考察函数，可得的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）的导函数，

由曲线在处的切线方程为，知， ，

所以， .

（Ⅱ）令 ，则 ，

当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，

所以，当时， 取得极小值，也即最小值，该最小值为，

所以，即不等式成立.

（Ⅲ）函数（），则，

当时， ，函数在内单调递增， 无极值，不符合题意；

当时，由，得，

结合， 在上的图象可知，关于的方程一定有解，其解为（），且当时， ， 在内单调递增；当时， ， 在内单调递减.

则是函数的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，

也是在上的唯一零点，即，则.

所以 .

由于恒成立，则，即，（*）

考察函数，则，

所以为内的增函数，且， ，

又常数满足，即，

所以， 是方程的唯一根，

于是不等式（*）的解为，

又函数（）为增函数，故，

所以的取值范围是.