Question

如图，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=2，CE∥AF，AC⊥CE，
（I）求证：CM∥平面BDF；
（II）求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小；
（III）求二面角A﹣DF﹣B的大小．

Answer 1

解：（I）证明：因为面ABCD⊥面ACEF，面ABCD∩面ACEF=AC，且AC⊥CE，
∴CE⊥面ABCD．
所以CD、CB、CE两两垂直．可建立如图空间直角坐标系C﹣xyz．
则（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），F（2，2，），O（1，1，0）
由，可求得M（）
=（），）．
所以∥，
∴CM∥OF
∵OF平面BDF
∴CM∥平面BDF 。
（II）因为=（），），
所以cos＜＞=
异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小为
（III）因为CD⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量=（2，0，0）．
设平面BDF的法向量为=（x，y，1）
由．
所以法向量=（﹣，1）
所以所以＜=，
由图可知二面角A﹣DF﹣B为锐角，所以二面角A﹣DF﹣B大小为．