Question

已知a∈R，曲线C1：x2+y2-ax+2ay+a2-a-1=0．
（1）若曲线C₁表示圆，求a的取值范围；
（2）当a=2时，求C₁所表示曲线关于直线2y+1=0的对称曲线C₂的方程；
（3）在第2题条件下，是否存在整数m，使得曲线C₁与曲线C₂上均恰有两点到直线0≤x≤1时，的距离等于1，若存在，求出m值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）化圆的方程为标准方程，利用半径大于0，可求a的取值范围；
（2）确定圆心C₁（1，-2）关于直线2y+1=0的对称点为C₂（1，1），即可得到C₂的方程；
（3）设C₁（1，-2）到直线2x+y+m=0的距离为d₁，设C₂（1，1）到直线2x+y+m=0的距离为d₂，则根据d₁∈（1，3），d₂∈（1，3），结合m为整数，可得结论．

解答：解：（1）C1：x2+y2-ax+2ay+a2-a-1=0，即(x-

a

2

)2+(y+a)2=

a2

4

+a+1
当

a2

4

+a+1＞0时C₁表示圆，此时a²+4a+4＞0，∴a≠-2…（3分）
（2）a=2时，C₁：（x-1）²+（y+2）²=4，圆心（1，-2）
圆心C₁（1，-2）关于直线2y+1=0的对称点为C₂（1，1）
圆C2：(x-1)2+(y-1)2=4…（6分）
（3）设C₁（1，-2）到直线2x+y+m=0的距离为d₁，设C₂（1，1）到直线2x+y+m=0的距离为d₂，则
∵d₁∈（1，3），∴

|m|

5

∈(1，3)，∴|m|∈(

5

，3

5

)，∴m∈(

5

，3

5

)∪(-3

5

，-

5

)…（9分），
∵d₂∈（1，3），∴

|m+3|

5

∈(1，3)，
∴|m+3|∈(

5

，3

5

)，∴m∈(

5

-3，3

5

-3)∪(-3

5

-3，-

5

-3)…（12分）
∴m∈(-3

5

，-

5

-3)∪(

5

，3

5

-3)，
又m为整数，∴m=-6或3．…（14分）
所以，存在整数m=-6或3，使得曲线C₁与曲线C₂上均恰有两点到直线2x+y+m=0的距离等于1                  …（15分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查圆的对称性，考查圆心到直线距离公式的运用，属于中档题．