题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=0恰有三个不同的实根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知不等式f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

解：（Ⅰ）a=1时， $\text{[math]}$ ，f（0）=1，f'（0）=-2，
所以切线方程为y-1=-2x，即2x+y-1=0．…3
（Ⅱ）∵f'（x）=x²-ax-2a²，令x²-ax-2a²=0得x=-a或x=2a．
于是f'（x）＞0得x＜-a或x＞2a，f'（x）＜0得-a＜x＜2a．
所以x=-a时，f（x）取得极大值 $\text{[math]}$ ；
x=2a时，f（x）取得极小值 $\text{[math]}$ ．…2
要使方程f（x）=0恰有三个不同的实根，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，
所以 $\text{[math]}$ ，解之得 $\text{[math]}$ ．…2
（Ⅲ）要使f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，∴（1-a）x＜2a²+1．
∵a∈（1，+∞），
∴1-a＜0，于是 $\text{[math]}$ 对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于 $\text{[math]}$ 的最大值．
∵ $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时取等号．
故 $\text{[math]}$ ．…5
分析：（I）先求出函数在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，最后根据点斜式可求出切线方程；
（II）利用导数分别求出函数的极大值和极小值，要使方程f（x）=0恰有三个不同的实根，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，建立不等式组，从而求出a的取值范围；
（III）要使f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，将x分离出来得 $\text{[math]}$ ，对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于 $\text{[math]}$ 的最大值即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题和利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．