Question

已知函数f(x)=a+bcos(ωx+

π

6

)（b＞0，ω＞0，x∈R）的最大值是

3

2

，最小值是

-1

2

，且相邻的对称中心距离为

π

2

（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的最大值和最小值做出函数的a的值，根据最大值和最小值的差别做出图象向上平移的大小b的值，根据两个对称中心点横标差别做出周期进而得到ω=2，写出函数的解析式．
（2）根据所给的x的范围，写出2x+

π

6

的范围，结合余弦函数的图象做出cos（2x+

π

6

）∈[0，

3

2

]，做出f（x）的值．

解答：解：（1）∵最大值是

3

2

，最小值是

-1

2

，
∴b=

1

2

(

3

2

+

1

2

)=1，
a=

1

2

∵相邻的对称中心距离为

π

2

，
∴T=π
∴ω=2，
∴f（x）=cos（2x+

π

6

）+

1

2

（2）∵x∈[0，

π

6

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]
∴cos（2x+

π

6

）∈[0，

3

2

]
∴f（x）∈[

1

2

，

1+ 3

2

]
即函数的值域是[

1

2

，

1+ 3

2

]

点评：本题考查根据所给的条件确定函数的解析式，本题解题的关键是看出函数的图象向上平移的单位，本题是一个基础题．