Question

已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n²（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设数列{2^n-1a_n}的前n项和为T_n，然后根据2n-1an=

Tn-Tn-1，n≥2 T1            n=1

，求出2^n-1a_n，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）根据数列{a_n}的特点可知前n项和可利用错位相消法进行求解，在等式两边同乘以公比，然后作差即可求出S_n．

解答：解：（1）设数列{2^n-1a_n}的前n项和为T_n，则T_n=n²…（2分）∴2n-1an=

Tn-Tn-1，n≥2 T1n=1

=

2n-1，n≥2 1，n=1

=2n-1(n∈N*)
an=

2n-1

2n-1

…（6分）
（2）由Sn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

①
2Sn=2+3+

5

2

+

7

22

+…+

2n-1

2n-2

②…（8分）
由②-①得，Sn=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

…（10分）
=2+

2(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

…（12分）

点评：本题主要考查了数列递推式以及数列的求和，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．