Question

在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点D（0，1），是否存在不平行于轴的直线与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）若对于轴上的点P（0，n）（），存在不平行于轴的直线与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆方程为，

据A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知，

  解得

所求椭圆方程为             

（Ⅱ）条件等价于

若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，

否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾。

可设直线l：

由 

得

由得。 

设的中点为

则。

又

解得：。     

（将点的坐标代入亦可得到此结果）

由得，得，，这是不可能的。

故满足条件的直线不存在。                     10分

（Ⅲ）据（II）有，即，

解得，，

由得，即，要使存在，

只需的取值范围是