Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，又a₂•a₃=45，a₁+a₄=14
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）记数列b_n=

1

an•an+1

，数列{b_n}的前n项和记为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）等差数列{a_n}中，由公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由a_n=4n-3，知b_n=

1

an•an+1

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（I）∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴

(a1+d)(a1+2d)=45 a1+a1+3d=14

，
解得

a1=1 d=4

，或

a1=13 d=-4

（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（II）∵a_n=4n-3，
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

4

(1-

1

5

)+

1

4

(

1

5

-

1

9

)+

1

4

(

1

9

-

1

13

)+…+

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

4

(1-

1

4n+1

)
=

n

4n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．