Question

已知函数f(x)=

2-x

x-1

+aln(x-1)（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（2）当a=2时，求证：1-

1

x-1

＜2ln(x-1)＜2x-4（x＞2）；
（3）求证：

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

（n∈N^*且n≥2）．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f ′(x)=

a(x-1)-1

(x-1)2

，要使函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，分离参数可得a≥

1

x-1

恒成立，所以a≥(

1

x-1

)max，由于x∈[2，+∞），可知0＜

1

x-1

≤1，从而问题得解．
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数f(x)=

2-x

x-1

+2ln(x-1)在[2，+∞）上是增函数，所以当x＞2时，f（x）＞f（2），从而不等式左边得证，构造函数g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有g′(x)=2-

2

x-1

=

2(x-2)

x-1

，可知g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，从而不等式右边成立，故得证
（3）在（2）的结论中令x-1=

t+1

t

，则

1

t+1

＜2ln

t+1

t

＜2•

1

t

，取t=1，2，…，n-1，（n∈N^*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，即可证得．

解答：解：（1）因为f ′(x)=

a(x-1)-1

(x-1)2

，若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即a≥

1

x-1

恒成立，所以a≥(

1

x-1

)max．
又x∈[2，+∞），则0＜

1

x-1

≤1，所以a≥1．
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数f(x)=

2-x

x-1

+2ln(x-1)在[2，+∞）上是增函数，
所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即

2-x

x-1

+2ln(x-1)＞0，则2ln(x-1)＞

x-2

x-1

=1-

1

x-1

．
令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有g′(x)=2-

2

x-1

=

2(x-2)

x-1

，
当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，
因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，
即可得到2x-4＞2ln（x-1）．
综上有1-

1

x-1

＜2ln(x-1)＜2x-4（x＞2）．
（3）在（2）的结论中令x-1=

t+1

t

，则

1

t+1

＜2ln

t+1

t

＜2•

1

t

，
取t=1，2，…，n-1，（n∈N^*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2(ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

)＜2(1+

1

2

+…+

1

n-1

)，
所以

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2lnn＜2(1+

1

2

+…+

1

n-1

)，
即

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

（n∈N^*且n≥2）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查利用导数证明不等式，同时考查换元思想，其中利用函数的单调性证明不等式是解题的关键，也是难点．