Question

（本小题满分15分）已知函数(R)的一个极值点为.

(1) 求的值和的单调区间；

(2) 若方程的两个实根为, 函数在区间上单调,求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）函数在上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增. (2)实数的取值范围为.   

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为函数的一个极值点为x=1.

可以知道该点的导数值为零，得到a的值，并进而求解导数，得到f(x)的单调区间；

(2) 因为方程的两个实根为, 函数f(x)在区间上单调,利用单调性判定区间只能是已知单调区间的子区间而已，进而求解得到范围。

解：（1）∵,

      ∴.

      ∵的一个极值点为,

      ∴.

     ∴ .                                        ————————3分

     ∴,

当时, ;当时, ;当时, ;

∴函数在上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增.  6分

(2)∵方程的两个不等实根为,

∴△=b²-4b>0,   b<0或b>4  (*)

∵ 函数在区间上是单调的,

∴区间只能是区间,,之一的子区间.

记，的对称轴为x=,

①., 则，解得无解；————————9分

②，则，解得———————12分

③则 解得b>4

∴实数的取值范围为.    ------------------------------------------------15分