Question

已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项．
（1）求此椭圆方程；
（2）若点P满足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由已知得|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4=2a，由此能求出椭圆方程．
（2）在△PF₁F₂中，|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得4=m²+n²-2mncos120°，由此能求出△PF₁F₂的面积．

解答：解：（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知得|F₁F₂|=2，
∴|PF₁|+|PF₂|=4=2a，
∴a=2，b²=a²-c²=4-1=3
∴此椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）在△PF₁F₂中，|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理得4=m²+n²-2mncos120°，
∴4=（m+n）²-2mn-2mncos120°=16-mn，
∴mn=12，
∴S△PF₁F₂=

1

2

mnsin120°=

1

2

×12×

3

2

=3

3

．

点评：本题考查数列与解析几何的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．