Question

已知O为坐标原点，

OA

=(2sin2x，1)，

OB

=(1，-2

3

sinxcosx+1)，f(x)=

OA

•

OB

+m．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为[-

π

2

，π]，求y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[

π

2

，π]，值域为[2，5]，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数量积的公式，求出f（x）的表达式，然后根据三角函数的图象和性质即可求y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据函数的定义域和值域之间的关系建立条件，即可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

OA

=(2sin2x，1)，

OB

=(1，-2

3

sinxcosx+1)，f(x)=

OA

•

OB

+m．
∴f(x)=2sin2x-2

3

sinxcosx+1+m
=1-cos2x-

3

sinx+1+m=-2sin(2x+

π

6

)+2+m，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得y=f（x）在R上的单调递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
又f（x）的定义域为[-

π

2

，π]，
∴y=f（x）的增区间为：[-

π

2

，-

π

3

]，[

π

6

，

2π

3

]（中间若用“∪”扣2分）．
（Ⅱ）当

π

2

≤x≤π时，

7π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，
∴-1≤sin(2x+

π

6

)≤

1

2

∴1+m≤f（x）≤4+m，
∴

1+m=2 4+m=5

⇒m=1．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的公式求出f（x）是解决本题的关键，考查学生的计算能力．