Question

已知函数f（x）=sin（ωx+?）（0＜ω＜1，0≤?≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(

3π

4

，0)对称，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由f（x）是偶函数可得?的值，图象关于点M(

3π

4

，0)对称可得函数关系f（

3π

4

-x）=-f（

3π

4

+x），可得ω的可能取值，确定ω的值．

解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
∴2cosφsinωx=0，对任意x都成立，且0＜ω＜1，
∴cosφ=0，又0≤?≤π，
∴φ=

π

2

，
∴f（x）=sin（ωx+

π

2

）=cosωx；
由f（x）的图象关于点M（

3π

4

，0）对称，
∴f（

3π

2

-x）=-f（x），即cosω（

3π

2

-x）=-cosωx
取x=0，cos

3ωπ

2

=-1．
∴

3ωπ

2

=2kπ+π，
∴ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2…
又0＜ω＜1，
∴当k=0时，ω=

2

3

．
∴f（x）=cos

2

3

x．

点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，属于难题．