Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是

x=-1+ 3 5 t y=-1+ 4 5 t

（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=

2

sin（θ+

π

4

）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，将曲线C的极坐标方程：ρ=2

2

sin（θ+

π

4

）化成直角坐标方程：x²+y²-x-y=0，问题得以解决；
（2）先将直线l的参数方程化成普通方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲线C是以（

1

2

，

1

2

）为圆心，半径等于

2

2

的圆，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质，可求得M、N两点间的距离．

解答：解：（1）将曲线C的极坐标方程化为ρ=

2

sin（θ+

π

4

）=cosθ+sinθ
两边都乘以ρ，得ρ²=ρcosθ+ρsinθ
因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y ²
代入上式，得方求曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-x-y=0
（2）直线l的参数方程是

x=-1+ 3 5 t y=-1+ 4 5 t

（t为参数），消去参数t得普通方程：4x-3y+1=0，将圆C的极坐标方程化为普通方程为：x²+y²-x-y=0，
所以（

1

2

，

1

2

）为圆心，半径等于

2

2

所以，圆心C到直线l的距离d=

|4× 1 2 -3× 1 2 +1|

5

=

3

10

所以直线l被圆C截得的弦长为：|MN|=2

( 1 2 2 )2- 9 100

=

41

5

．
即M、N两点间的距离为

41

5

．

点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．