Question

设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的y∈[a，2a]，都有x∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=c，这时a+c的取值为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：由log_ax+log_ay=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．

解答：解：解：∵log_ax+log_ay=c，∴log?a(xy)=c，xy=ac，即y=

ac

x

在x∈[a，a²]上单调递减，
∴当x∈[a，a²]时，y∈[a^c-2，a^c-1]，
∴

ac-2≥a ac-1≤2a

，即

c-2≥1 c-1≤loga2+1

，所以

c≥3 c≤2+loga2

，
因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+log_a2=3，即log_a2=1．
解得，a=2，c=3
∴a+c=2+3=5．
故答案为：C

点评：本题主要考查对数的基本运算，利用对数的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力．