Question

已知函数f(x)=|x+1|+|

1

2

x-1|．
（1）画出函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间；
（2）解关于x的不等式f（x）≥a（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=|x+1|+|

1

2

x-1|=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

，由此能作出f（x）的图象，写出f（x）的单调区间．
（2）结合f（x）=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

的图象，能求出关于x的不等式f（x）≥a（a∈R）的解集．

解答：解：（1）函数f(x)=|x+1|+|

1

2

x-1|，
由x+1=0，得x=-1；当

1

2

x-1=0时，x=2．
当x≥2时，f（x）=x+1+

1

2

x-1=

3

2

x；
当-1≤x＜2时，f（x）=x+1+1-

1

2

x=

1

2

x+2；
当x＜-1时，f（x）=-x-1+1-

1

2

x=-

3

2

x．
∴f（x）=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

，
f（x）的图象如下图：

结合f（x）的图象，知f（x）的减区间是（-∞，-1），增区间是[-1，+∞）．
（2）∵f（x）=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

，
∴结合f（x）的图象知：
当a≤

3

2

时，f（x）≥a恒成立，即不等式的解为（-∞，+∞）；
当

3

2

＜a≤3时，不等式的解为(-∞，-

2

3

a]∪[2a-4，+∞)；
当a＞3时，不等式的解为(-∞，-

2

3

a]∪[

2

3

a，+∞)．

点评：本题考查带绝对值函数的应用，解题时要认真审题，注意绝对值的性质和分段函数性质的合理运用．