Question

已知向量

α

，

β

，

γ

满足|

α

|=1，|

α

-

β

|=|

β

|，(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0．若对每一确定的

β

，|

γ|

的最大值和最小值分别为m，n，则对任意

β

，m-n的最小值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  3

  4

• D、1

Answer 1

分析：我们分别令|

α

|=1，

OB

=

β

，

OC

=

γ

，根据由已知中，向量

α

，

β

，

γ

满足|

α

|=1，|

α

-

β

|=|

β

|，(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0．可判断出A，B，C三点的位置关系，及m-n的几何意义，进而得到答案．

解答：解：∵|

α

|=1，
∴令

OA

=

α

则A必在单位圆上，
又∵又向量

β

满足|

α

-

β

|=|

β

|，
∴令

OB

=

β

则点B必在线段OA的中垂线上，

OC

=

γ

．
又∵(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0
故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记

OC

=

γ

．
故m-n就是圆M的直径|AB|
显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值

1

2

即（m-n）_min=

1

2

故选A

点评：本题考查的知识点是两向量的和与差的模的最值，及向量加减法的几何意义，其中根据已知条件，判断出A，B，C三点的位置关系，及m-n的几何意义，是解答本题的关键．