Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f'（x）是f（x）的导函数．
（I）求：f'（x），及函数y=f'（x）的最小正周期；
（II）求：x∈[0，

π

2

]时，函数F（x）=f（x）f'（x）+f²（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根据导数公式求出导函数，然后利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而用周期公式做出周期；
（II）首先写出函数F（x）并化简，进而根据正弦函数的性质求得函数值域．

解答：解：（I）∵f'（x）=cosx-sinx，
∴f'（x）=cosx-sinx═-

2

sin(x+

π

4

)，
所以y=f'（x）的最小正周期为T=2π
（Ⅱ）F（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
∴函数F（x）的值域为[0，1+

2

]，

点评：本题主要考查了三角函数的导数以及正弦函数的定义域和值域．解题的关键是对函数解析式的化简，以及对正弦函数的基础知识的熟练记忆，这种题目注意化简过程中不要出错，不然后面的运算都会出错．