Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，令T_n=，求T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，由，得：．
当n≥2时，．
则，即，
所以．
∵，∴．
故数列{a_n}是以为首项，为公比的等比数列．
故（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵，∴．
∴．
∴．
所以，T_n===．
分析：（Ⅰ）首先由递推式求出a₁，取n=n-1（n≥2）得另一递推式，两式作差后可证出数列{a_n}是等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a_n代入递推式，则可求出1-S_n+1，整理后得到b_n，最后利用裂项相消求T_n．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查了计算能力，是中档题．