Question

已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②y=

4

3

x；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是

 

．（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据题设条件可知点P的轨迹方程是

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），将直线①，②，③，④的方程分别与

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）联立，若方程组有解，则该直线为“B型直线”．

解答：解：∵|PM|-|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），
①

x2 9 - y2 16 =1 y=x+1

，把y=x+1代入双曲线

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得7x²-18x-153=0，∵△=（-18）²-4×7×（-153）＞0∴y=x+1是“B型直线”．
②

x2 9 - y2 16 =1 y= 4 3 x

，把y=

4

3

x代入双曲线

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得144=0，不成立．∴y=

4

3

x不是“B型直线”．
③

x2 9 - y2 16 =1 y=2

，把y=2代入双曲线

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得x2=

45

4

，∴y=2是“B型直线”．
④

x2 9 - y2 16 =1 y=2x+1

，把y=2x+1代入双曲线

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得20x²+36x+153=0，∵△=36²-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直线”．
答案：①③．

点评：将直线①，②，③，④的方程分别与

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）联立，若方程组有解，则该直线为“B型直线”．