Question

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
①f(0)=f(

π

4

)=1；②f（m+n）+f（m-n）=2f（m）cos2n+8sin²n（m，n∈R）．
则（1）f(

π

2

+x)+f(x)=______；
（2）函数f（x）的最大值是______．

Answer 1

（1）由题意得：f（

π

2

+x）+f（x）=f[（

π

4

+x）+

π

4

]+f[（

π

4

+x）-

π

4

]=2f（

π

4

+x）cos

π

2

+8sin²

π

4

=8×（

2

2

）²=4；
（2）令m=

π

4

，n=

π

4

+x，
根据题意得：f（

π

4

+

π

4

+x）+f（

π

4

-

π

4

-x）=f（

π

2

+x）+f（-x）
=2f（

π

4

）cos（

π

2

+2x）+8sin²（

π

4

+x）=4-2sin2x（i），
又由（1）得f（

π

2

+x）+f（x）=4（ii），
∴（ii）-（i）得：f（x）-f（-x）=4-（4-2sin2x）=2sin2x③，
令m=0，n=x，
根据题意得：f（0+x）+f（0-x）=f（x）+f（-x）=2cos2x+8sin²x=2cos2x+8×

1-cos2x

2

=4-2cos2x④，
（③+④）÷2得：f（x）=2-（sin2x+cos2x）=2-

2

sin（2x+

π

4

），
∵sin（2x+

π

4

）∈[-1，1]，
∴f（x）的最大值为2+

2

．
故答案为：（1）4；（2）2+

2