Question

己知f′（x）为函数f（x）=x+

1

x

的导函数，则下列结论中正确的是（　　）

• A、?x₀∈R，?x∈R且x≠0，f（x）≤f（x₀）
• B、?x₀∈R，?x∈R且x≠0，f（x）≥f（x₀）
• C、?x₀∈R，?x∈（x₀，+∞），f′（x）＜0
• D、?x₀∈R，?x∈（x₀，+∞），f′（x）＞0

Answer 1

分析：根据基本不等式求出函数的最值即可判断A，B，利用导数研究函数的单调性即可判断C，D．

解答：解：∵f（x）=x+

1

x

，
∴x≠0，f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

．
当x＞0时，f（x）=x+

1

x

≥2，
当x＜0时，f（x）=x+

1

x

≤-2，
∴在定义域上函数f（x）没有最值，∴A，B错误．
由f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＜0，解得-1＜x＜0或0＜x＜1，
∴不存在x₀∈R，?x∈（x₀，+∞），使f′（x）＜0成立，∴C错误．
由f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴存在x₀＞1，?x∈（1，+∞），使f′（x）＞0成立，∴D正确．
故选：D．

点评：本题主要考查函数f（x）=x+

1

x

的最值以及单调性的性质的应用，利用导数和基本不等式是解决本题的关键．